LO 14.x Monte Carlo simulation

MCSimulator

          By the Bionic Turtle @
Monte Carlo Topics
Next tab has key takeaways!
LO 14.1: Describe the procedure for simulating a price path using (discrete) GBM
LO 14.2: Identify the four steps in computing VAR using Monte Carlo simulation. 
LO 14.3: Describe how the Monte Carlo method is used in option pricing. 
LO 14.4: Discuss the tradeoff between speed and accuracy in Monte Carlo models. 
This is GBM. GBM = DRIFT + SHOCK.
Please note: To export into Excel, Select File, Export As > Excel
Watch the movie @
Drift
  =mu*time 
Shock
  =(NORMSINV(RAND())*volatility*SQRT(time) 
Assumptions
Drift + Shock
  =mu*time+normsinv(rand())*volatility*sqrt(time) 
Initial stock price (S0)
$10.00
Into time series
  =B12+B12*(mu*time+normsinv(rand())*volatility*sqrt(time)) 
Expected return (m), annual 
12.0%
Volatility (s), annual
30%
Each interval in days (t)
1
Value-at-Risk (VAR) @ 95th %ile
 $9.15 
Interval, in annual terms
 0.0040 
Value-at-Risk (VAR) @ 99th %ile
 $9.08 
Rank of
Periods 1 to 10
Outcome
day 1
day 2
day 3
day 4
day 5
day 6
day 7
day 8
day 9
day 10
(from 1-40)
1
 $10.00 
 $9.98 
 $9.79 
 $9.88 
 $9.82 
 $9.95 
 $10.32 
 $10.45 
 $10.37 
 $10.42 
11
2
 $10.00 
 $10.20 
 $10.13 
 $10.50 
 $10.49 
 $10.64 
 $10.54 
 $10.49 
 $10.63 
 $10.75 
5
3
 $10.00 
 $10.11 
 $10.02 
 $10.04 
 $9.91 
 $9.62 
 $9.60 
 $9.31 
 $9.19 
 $9.29 
33
4
 $10.00 
 $10.20 
 $10.30 
 $10.03 
 $10.24 
 $9.62 
 $9.61 
 $9.01 
 $9.00 
 $9.21 
37
5
 $10.00 
 $9.77 
 $9.40 
 $9.53 
 $9.44 
 $9.54 
 $9.21 
 $9.41 
 $9.57 
 $9.59 
26
6
 $10.00 
 $9.97 
 $9.91 
 $9.95 
 $9.96 
 $9.72 
 $9.56 
 $9.43 
 $9.58 
 $9.26 
35
7
 $10.00 
 $10.11 
 $10.23 
 $10.43 
 $10.12 
 $10.29 
 $10.59 
 $10.79 
 $10.99 
 $10.95 
2
8
 $10.00 
 $9.82 
 $9.75 
 $9.88 
 $9.63 
 $10.14 
 $10.30 
 $10.14 
 $9.98 
 $9.93 
15
9
 $10.00 
 $10.22 
 $10.36 
 $10.09 
 $10.16 
 $9.95 
 $9.90 
 $9.72 
 $9.83 
 $9.76 
19
10
 $10.00 
 $9.91 
 $9.80 
 $9.80 
 $9.45 
 $9.60 
 $9.48 
 $9.45 
 $9.48 
 $9.40 
30
11
 $10.00 
 $10.02 
 $10.25 
 $10.11 
 $10.02 
 $9.94 
 $10.06 
 $10.06 
 $9.90 
 $9.74 
21
12
 $10.00 
 $9.99 
 $9.88 
 $10.00 
 $10.18 
 $9.77 
 $9.73 
 $9.73 
 $9.57 
 $9.70 
23
13
 $10.00 
 $9.80 
 $9.99 
 $10.09 
 $10.14 
 $10.53 
 $10.54 
 $10.54 
 $10.63 
 $10.65 
6
14
 $10.00 
 $9.83 
 $10.23 
 $10.07 
 $9.96 
 $9.98 
 $9.62 
 $9.59 
 $9.67 
 $9.32 
31
15
 $10.00 
 $10.06 
 $9.98 
 $9.76 
 $9.79 
 $9.76 
 $9.98 
 $9.92 
 $9.92 
 $10.14 
14
16
 $10.00 
 $9.90 
 $9.72 
 $9.84 
 $10.07 
 $10.01 
 $9.87 
 $9.73 
 $9.77 
 $9.47 
28
17
 $10.00 
 $9.92 
 $9.68 
 $9.43 
 $9.40 
 $9.47 
 $9.45 
 $9.22 
 $9.33 
 $9.14 
39
18
 $10.00 
 $9.62 
 $9.51 
 $9.56 
 $9.52 
 $9.69 
 $10.11 
 $9.96 
 $9.90 
 $9.75 
20
19
 $10.00 
 $9.97 
 $10.15 
 $10.11 
 $9.66 
 $9.78 
 $9.84 
 $9.69 
 $9.23 
 $9.31 
32
20
 $10.00 
 $10.45 
 $10.25 
 $10.07 
 $10.14 
 $10.15 
 $10.27 
 $10.47 
 $10.53 
 $10.20 
13
21
 $10.00 
 $10.00 
 $10.34 
 $10.31 
 $10.54 
 $10.37 
 $10.57 
 $10.62 
 $10.63 
 $10.52 
8
22
 $10.00 
 $10.22 
 $10.58 
 $10.29 
 $10.37 
 $9.95 
 $10.15 
 $10.11 
 $10.25 
 $10.26 
12
23
 $10.00 
 $10.00 
 $10.06 
 $10.09 
 $9.99 
 $9.62 
 $9.53 
 $9.46 
 $9.47 
 $9.15 
38
24
 $10.00 
 $10.12 
 $10.21 
 $10.10 
 $10.26 
 $10.26 
 $10.22 
 $9.96 
 $9.98 
 $9.74 
22
25
 $10.00 
 $10.05 
 $10.09 
 $10.20 
 $9.99 
 $10.21 
 $10.15 
 $9.97 
 $9.47 
 $9.26 
36
26
 $10.00 
 $10.27 
 $10.23 
 $10.58 
 $11.02 
 $10.63 
 $11.05 
 $11.10 
 $11.41 
 $11.07 
1
27
 $10.00 
 $10.01 
 $9.87 
 $10.04 
 $10.41 
 $10.42 
 $10.37 
 $10.28 
 $9.92 
 $9.85 
18
28
 $10.00 
 $9.89 
 $9.67 
 $9.43 
 $9.77 
 $9.80 
 $9.82 
 $9.44 
 $9.60 
 $9.28 
34
29
 $10.00 
 $10.25 
 $9.81 
 $9.79 
 $9.64 
 $9.60 
 $9.72 
 $9.75 
 $9.94 
 $9.66 
25
30
 $10.00 
 $10.38 
 $10.46 
 $10.47 
 $10.39 
 $10.51 
 $10.90 
 $10.91 
 $10.88 
 $10.90 
3
31
 $10.00 
 $9.79 
 $10.07 
 $9.93 
 $9.83 
 $9.76 
 $9.67 
 $9.51 
 $9.36 
 $9.53 
27
32
 $10.00 
 $10.13 
 $10.05 
 $9.73 
 $10.02 
 $9.85 
 $9.97 
 $9.96 
 $10.10 
 $9.90 
16
33
 $10.00 
 $9.90 
 $10.14 
 $10.57 
 $10.59 
 $10.64 
 $11.06 
 $10.81 
 $10.69 
 $10.81 
4
34
 $10.00 
 $9.53 
 $10.05 
 $10.16 
 $10.18 
 $9.92 
 $9.88 
 $10.11 
 $10.09 
 $10.43 
10
35
 $10.00 
 $9.79 
 $9.90 
 $9.80 
 $9.84 
 $9.86 
 $9.94 
 $9.69 
 $9.93 
 $9.90 
17
36
 $10.00 
 $9.97 
 $10.07 
 $10.50 
 $10.31 
 $10.38 
 $10.10 
 $10.50 
 $10.43 
 $10.44 
9
37
 $10.00 
 $9.94 
 $10.03 
 $10.32 
 $10.62 
 $10.64 
 $10.55 
 $10.54 
 $10.69 
 $10.63 
7
38
 $10.00 
 $10.07 
 $10.18 
 $9.89 
 $9.93 
 $9.88 
 $9.74 
 $9.51 
 $9.54 
 $9.69 
24
39
 $10.00 
 $9.96 
 $10.00 
 $10.06 
 $10.36 
 $10.47 
 $10.29 
 $10.00 
 $9.80 
 $9.45 
29
40
 $10.00 
 $10.14 
 $10.07 
 $9.91 
 $9.67 
 $9.61 
 $9.53 
 $9.13 
 $9.04 
 $9.04 
40

Takeaways

Monte Carlo advantages include:
1
Powerful & flexible 
2
Able to account for a range of risks (e.g., price risk, volatility risk, and nonlinear exposures)
3
Can be extended to longer horizons (important for credit risk measurement)
4
Can measure operational risk.
Geometric Brownian motion (GBM) is a stochastic model of price behavior
GBM assumes changes (innovations) in the asset price are uncorrelated over time. 
Small price changes are a function of DRIFT (expected return) plus SHOCK (volatility x standard random normal variable)
LO 14.2: Identify the four steps in computing VAR using Monte Carlo simulation. 
1
Choose a stochastic process and parameters
2
Generate a pseudo-sequence of variables e1, e2, . . . en from which prices are computed as St+1, St+2, . . . St+n
3
Calculate the value of the asset (or portfolio) Ft+n= FT under this particular sequence of prices at the target horizon
4
Repeat steps 2 and 3 as many times as desired
LO 14.3: Describe how the Monte Carlo method is used in option pricing. 
1
Choose a process with a drift equal to the risk-free rate, i.e., with ยต = r
2
Simulate prices to the horizon ST
3
4
Discount each terminal value back to the present value at the risk-free rate
5
Calculate option value by averaging the discounted payoffs
LO 14.4: Discuss the tradeoff between speed and accuracy in Monte Carlo models. 
Accuracy. Greater accuracy slows down the simulation. In particular:
Curse of dimensionality (factors x assets x replications)
Portfolio with complex instruments implies "a simulation within a simulation!"
Speed. Greater speed achieved with fewer replications. 
But that introduces sampling variability
Solution is acceleration methods:
1
Antithetic variable techniques
2
Control variate technique
3
Quasi-random sequences